主辅影像干涉

影像干涉公式推导

复数影像的两种表现形式

复数影像的数字存储形式

$a+bi$

复数影像的强度相位表现形式

$u=\lvert u\rvert e^{j\phi}$

其中， $\lvert u\rvert$为强度, $\phi$为相位。

两种表达方式的相互关系为：

$$\lvert u\rvert={u.real}^2+{u.imag}^2=a^2+b^2$$ $$\phi=\arctan\frac{u.imag}{u.real}=\arctan\frac{b}{a}$$

两种表现形式的干涉计算

$$u_1=\lvert u_1\rvert e^{j\phi_1}=a+bi$$ $$u_2=\lvert u_2\rvert e^{j\phi_2}=c+di$$

强度相位表现形式

$$\begin{aligned} u_{int} &=u_1\cdot u_2^* \\ &=\lvert u_1\rvert e^{j\phi_1}\cdot \lvert u_2\rvert e^{-j\phi_2} \\ &= \lvert u_1\rvert \lvert u_2\rvert e^{j(\phi_1-\phi_2)} \\ &= \lvert u_1\rvert \lvert u_2\rvert e^{-j(\phi_2-\phi_1)} \end{aligned}$$

注，*表示共轭

进一步计算，可得：

强度

$$\begin{aligned} \lvert u_1\rvert \lvert u_2\rvert&=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\ &=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2 \end{aligned}$$

相位

$$\begin{aligned} \phi_1-\phi_2&=\arctan\frac{b}{a}-\arctan\frac{d}{c}+c\pi \\ &=\arctan\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{1+\frac{bd}{ac}}+c\pi \\ &=\arctan\frac{bc-ad}{ac+bd}+c\pi \end{aligned}$$

其中，使用了反正切函数（arctan）相加定律

$\arctan\alpha\pm\arctan\beta=\arctan\frac{\alpha\pm\beta}{1\mp\alpha\beta}+c\pi$

数字存储形式

$$\begin{aligned} u_{int} &=(a+bi){(c+di)}^* \\ &=ac+bd+(bc-ad)i \end{aligned}$$

强度

$$\begin{aligned} \lvert u_{int}\rvert&={(ac+bd)}^2{(bc-ad)}^2 \\ &=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+b^2c^2+a^2d^2-2abcd \\ &=a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+a^2d^2 \\ &=\lvert u_1\rvert \lvert u_2\rvert \end{aligned}$$

相位

$$\begin{aligned} \phi_{int}&=\arctan\frac{bc-ad}{ac+bd} \\ &=\phi_1-\phi_2 \end{aligned}$$

方位向滤波

距离向滤波